Soma Infinita: +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1... = 0,5

Olá a todos. Iniciando com atraso os posts desse novo ano maravilhoso que é 2016, que já nos brindou com um dia a mais no mês de fevereiro, vamos trabalhar uma questão interessante cujos desdobramentos são de explodir a mente: se somarmos um e subtrairmos um infinitamente, chegamos a qual resultado?

Já adianto que existem 3 respostas possíveis para esse problema, Duas são diretas e, na minha opinião, desinteressantes. A terceira é o foco desse post, pois é a mais legal. Sem mais delongas, vamos iniciar.

Primeira resposta: 0

Para chegar nessa resposta simples, vamos combinar uma notação. Vamos dizer que essa soma que queremos calcular se chama S. Assim eu tenho a seguinte equação:

S = + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...

Nós poderíamos adicionar parênteses no lado direito dessa equação sem alterar o sentido dela. Assim ela se torna:

S = (+ 1 - 1) + (+1 - 1) + (+1 - 1) + (+1 - 1) + ...

Cada agrupamento de (+1 - 1) resulta, obviamente, em 0. Assim nós poderíamos reescrever a equação como sendo:

S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...

S = 0

Segunda resposta: +1

Para chegar nessa resposta vamos utilizar um recurso similar ao utilizado anteriormente. Porém, dessa vez, deixaremos a primeira parcela fora dos parênteses, reescrevendo a equação da seguinte forma:

S = + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...

S = + 1 + (-1 +1) + (-1 +1) + (-1 +1) + (-1 +1) + ...

Novamente chegamos a uma situação em que cada agrupamento no interior dos parênteses vale 0. Poderíamos então reescrever a equação na forma:

S = +1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...

S = +1

Terceira resposta: +0,5

Essa resposta é um pouco mais elaborada que as outras, mas igualmente compreensível e muito mais interessante. Vamos começar escrevendo a seguinte equação já conhecida.

S = + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... (Equação 1)

Nós poderíamos multiplicar ambos os lados da equação por (-1) sem alterar a igualdade. Ou seja, podemos trocar o sinal de tudo sem alterar a equação, reescrevendo-a da seguinte forma:

- S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... (Equação 2)

Perceba que eu nomeei arbitrariamente as equação somente por propósitos explicativos. Eu vou reescrever agora a equação 1 colocando parênteses que se estendem até o infinito após o primeiro termo:

S = + 1 + (- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...)

Note que tudo que está dentro dos parênteses é igual a equação 2, que é igual a -S. Então podemos reescrever:

S = + 1 - S

Isso nos leva que 2*S = +1 e que S = +0,5.

Fantástico. Demonstramos que a soma infinita de termos inteiros pode resultar em um termo não inteiro. Mas entendo que a resposta cause desconforto, então forneço uma interpretação pessoal. Imagine que você não tenha dinheiro algum, e um amigo seu lhe dá durante um dia 1 real (o que equivale a somar um), mas no dia seguinte lhe toma de volta esse 1 real (o que equivale a subtrair um). Ou seja, durante um dia você tem um real e durante o dia seguinte não tem nada novamente. Você pode interpretar que você continua sem nada (resposta 1), que está 1 real mais rico (ou menos pobre, resposta 2) ou que, na média, você tem 50 centavos (meio real, resposta 3).

Por hoje era isso. Para dúvidas, sugestões e/ou críticas, deixe um comentário. Lerei-os com prazer. Abraço e até a próxima.